无言的宇宙[精装珍藏版] pdf 免费 在线 网盘 下载

◆ “美国数学政策联合会年度传播大奖”。“中国科普作协优秀科普作品”科普书类金奖。中国金融博物馆书院推荐读物。著名科学家李淼、数学才子顾森联袂推荐！

◆一本文科生都能看懂的 “数学公式史话”：从1+1=2，到爱因斯坦质能公式E=mc²，看24个公式如何改变人类历史进程。

◆用诗意文字讲述公式之美，科学性、知识性和故事性完美结合， 100余幅高清珍贵插图，全彩印刷，让神秘、抽象的公式“活起来”！

◆文科生和青少年数学启蒙的首选数学科普书。

《无言的宇宙》向你讲述的是人类历史上24个美丽而伟大的公式背后的故事，从基本的1 + 1 = 2到揭示电磁现象的“麦克斯韦方程”，从著名的E = mc²到神秘的“汉密尔顿的四元数方程”，清晰地解释了每一个方程的含义、谁（如何）发现了它，他们在人类发展史上和现实生活中发挥的巨大作用。

这些故事既长知识又有趣，比如：

发现世界上最简单的方程，这意味着什么；

如果世间未曾有过“0”这个概念，将会怎样；

牛顿运动定律如是何使人类做到这一切的——从建设桥梁到预测天气；

一根劣质雪茄如何改变了量子力学的进程；

为什么鲸鱼（如果它们能和我们交流的话）会教给我们完全不同的几何概念？

同时，这本书也解释了为什么这些方程在诉说着关于宇宙的永恒的秘密，没有任何一种人类的表达方式可以与之匹敌。最重要的是它们如何令人惊讶地影响了人类历史和我们的日常生活。

序

引言：算盘 VS 阿拉伯数字

第一部分：古代的定理

1.我们为什么信赖算术：世界上最简单的公式

2.抗拒新概念：零的发现

3.斜边的平方：毕达哥拉斯定理

4.4. 圆的游戏：π的发现

5. 从芝诺悖论谈起：无穷的概念

6. 杠杆作用的重要性：杠杆原理

第二部分：探索时代的定理

7. 口吃者的秘密：卡尔达诺公式

8. 九重天上的秩序：开普勒的行星运行定律

9. 书写永恒：费马最后定理

10. 一片未曾探索过的大陆：微积分基本定理

11. 关于苹果、传说……以及彗星：牛顿定律

12. 伟大的探索者：欧拉定理

第三部分：普罗米修斯时代的定理

13. 新的代数：汉密尔顿与四元数

14. 两颗流星：群论

15. 鲸鱼几何与蚂蚁几何：非欧几何

16. 我们信赖质数：质数定理

17. 关于谱系的想法：傅立叶级数

18. 上帝之眼中看到的光：麦克斯韦方程

第四部分：我们这个时代的定理

19. 光电效应：量子与相对论

20. 从劣质雪茄到威斯敏斯特大教堂：狄拉克公式

21. 王国缔造者：陈省身- 高斯- 博内公式

22. 有一点儿无限：连续统假说

23. 混沌理论：洛伦兹方程

24. 驯虎：布莱克- 斯科尔斯方程

结论：将来会如何

达纳·麦肯齐，普林斯顿大学数学博士，自由科学记者，科普作家。他早年在杜克大学等大学教了13年的数学，但从未感觉教书是自己的使命，写作反而是他的最爱。1996年，在发现可以利用互联网传播科学知识后，他决定利用自己的数学和科学知识当一名专职作家，他经常在《科学》《发现》《新科学人》等杂志发表文章，他的著作有：《数学科学在发生着什么》《大撞击，或月球是怎么来的》。2012年麦肯齐获“美国数学政策联合会年度传播大奖”。

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积分号ʃ和微分号d/dx是牛顿的首创。

第一个公式说，你可以对速度积分以求得旅行的距离F(b) - F(a)。符号∫即表示“积分”。第二个公式说，速度是距离的变化率或导数，符号d/dt的含义就是求导。

F=ma;F=GMm/r2。第一个等式是牛顿第二运动定律，第二个等式是牛顿万有引力定律。F在这两个等式中都代表力。符号a代表质量为m的物体的加速度。在万有引力定律中，F特指质量分别为M与m的两个物体间的引力，而r代表这两个物体间的距离。G是万有引力常数，其值为6.672*10-11m3kg-1sec-2。

牛顿第一定律说运动物体将永远保持匀速直线运动，除非有外力将其停止或者改变其运动方向。牛顿第二定律称，作用在物体上的力等于其动量的变化率。牛顿第三定律为：对于任何一个作用力，都存在着一个与它大小相等方向相反的反作用力。

英格兰的皇家学会于1660年创建，不久之后，法国科学院也在1666年旋即成立。1700年成立普鲁士科学院。1724年，成立俄国科学院。

革命的爆发经常是由那些对自己正在做些什么一无所知的人点燃引线的。

书籍介绍

◆ “美国数学政策联合会年度传播大奖”。“中国科普作协优秀科普作品”科普书类金奖。中国金融博物馆书院推荐读物。著名科学家李淼、数学才子顾森联袂推荐！

◆一本文科生都能看懂的 “数学公式史话”：从1+1=2，到爱因斯坦质能公式E=mc²，看24个公式如何改变人类历史进程。

◆用诗意文字讲述公式之美，科学性、知识性和故事性完美结合， 100余幅高清珍贵插图，全彩印刷，让神秘、抽象的公式“活起来”！

◆文科生和青少年数学启蒙的首选数学科普书。

《无言的宇宙》向你讲述的是人类历史上24个美丽而伟大的公式背后的故事，从基本的1 + 1 = 2到揭示电磁现象的“麦克斯韦方程”，从著名的E = mc²到神秘的“汉密尔顿的四元数方程”，清晰地解释了每一个方程的含义、谁（如何）发现了它，他们在人类发展史上和现实生活中发挥的巨大作用。

这些故事既长知识又有趣，比如：

发现世界上最简单的方程，这意味着什么；

如果世间未曾有过“0”这个概念，将会怎样；

牛顿运动定律如是何使人类做到这一切的——从建设桥梁到预测天气；

一根劣质雪茄如何改变了量子力学的进程；

为什么鲸鱼（如果它们能和我们交流的话）会教给我们完全不同的几何概念？

同时，这本书也解释了为什么这些方程在诉说着关于宇宙的永恒的秘密，没有任何一种人类的表达方式可以与之匹敌。最重要的是它们如何令人惊讶地影响了人类历史和我们的日常生活。

• 作者： 韩墨谦 发布时间：2019-07-30 13:23:20

  你永远只能在这个宇宙里，还是那么卑微的一个视角。

• 作者： 此间的少年 发布时间：2019-01-19 18:58:38

  一次穿越千年的数学之旅，荡气回肠，智力激荡

• 作者： litinan 发布时间：2019-12-12 14:12:45

  装帧极好，故事也生动，但是没看下来，对我来说太难了（我校不必修高等数学…）

• 作者： hé 发布时间：2022-03-03 23:15:26

  不明觉厉，看天才们如何在自己的世界里沉迷、突破、为世界带来星光。

  “只要我们想理解我们生活于其中的这种宇宙，我们就只能在这个宇宙之内，而不存在“走出”这个宇宙的可能”多么哀伤又有趣啊！

• 作者： 迷信鉴定员小谈 发布时间：2022-03-13 12:44:06

  比【公式之美】文科生友好多了，很多概念解释得蛮好

• 一些错误

  作者：永恒的贝多芬 发布时间：2019-06-17 23:02:18

  一个普遍的问题：图片没翻译。

  ■ 第 8 页：数学的创始人是伏羲，传说中中国的第一位皇帝。

  伏羲是三皇之一，不是皇帝。

  ■ 第 8 页：伏羲“发明了管控六十四卦变化的九九算法”……

  此处引用的刘徽《九章算术注》原文为： 昔在包犠氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之术，以合六爻之变。 见：

  https://ctext.org/library.pl?if=gb&res=77423

  可见此处的“六十四卦”应该是“六爻”。六十四卦相传是文王作的。

  2023 年 8 月 15 日补记：“六爻”就是每卦六画，每画分阴阳，所以有六十四种变化，也就是六十四卦，这里译文没有问题。

  ■ 第 24 页：[《数学原理》]很可能是试图重铸算术，将之归为集合理论的一个分支。

  原文：In 1910, the mathematician Alfred North Whitehead and the philosopher Bertrand Russell published a massive and dense threevolume work called Principia Mathematica

  that was most likely the apotheosis of the attempts to recast arithmetic as a branch of set theory.

  怀疑最后漏了“的典范”三个字，这样意味全变了。

  ■ 第 36 页：我们今天称之为√3，√5，直至√17的数字都是无理数。

  这里是作者口胡了。

  ■ 第 39 页：他的证明从三个正方形开始……可不加处理。

  这一段都是译者自己加的。原文是：He starts with two squares made from the sides of the gou and the gu, and then dissects them and rearranges the pieces so that they form a square on the xian. 刘徽的原文是： 勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂。开方除之，即弦也。

  这一段是在说刘徽证明勾股定理，我觉得原文很好理解，译者的解释反而错了，因为刘徽就是从两条直角边的正方形出发，经过割补拼成弦的正方形。并不是他所说的“三个正方形”，而且译者的基本就是简单翻译了刘徽的原文：“以直角三角形的短直角边（勾）a为边的正方形为朱方，以长直角边（股）b为边的正方形为青方。

  以盈补虚，将朱方与青方并为斜边（弦）方。

  依照面积关系可得a2+b2=c2，朱方与青方已在弦方中的一部分可不加处理。”说真的，你都用 a、b、c 了，而且上面还有图，为什么还要解释那么多？然后最关键的部分（标黑句）一笔带过。怎么补？怎么并？反正我是没看懂。

  ■ 第 50 页：阿基米德说，抛物线围成的面积正好等于内接三角形的4/3倍。……

  这段原文就描述不清，怎么内接？同一条弦，顶点位置不同，三角形的面积也不一样。其实，插图画出了怎么构造这个三角形，但是没有标明任何条件，也没有文字解释。

  ■ 第 54 页：一个 150 磅重的人可以让一个 15000 磅重的保险柜……让支点距离他的长度至少十倍于支点距离保险柜的长度。

  原文的保险柜是 1500 磅，这个是对的。

  ■ 第 60 页：……补上一个面积未知的小正方形……

  应该是“面积已知”。

  ■ 第 61 页：波斯诗人与数学家奥玛开阳……

  这个人就是《鲁拜集》的作者，一般译成“欧玛尔·海亚姆”。

  ■ 第 62 页：原文插图就错了，x 下不是两个 y，而是一个 7 一个 y。另外 a 应该是 A。

  ■ 第 66 页：光子等一类基本粒子被定义为“波函数”。

  原文如此，头一回看到这种说法。

  ■ 第 81 页：函数f(x)和f(x)是……。f(x)是f(x)的一个不定积分。

  应该是：函数f(x)和F(x)是……。F(x)是f(x)的一个不定积分。

  ■ 第 115 页：Gal(k/Q)代表……

  k 应该大写。

  ■ 第 116 页：伽罗瓦加入了一个名叫《人民之友会》的革命组织。

  不知道为什么用书名号。

  ■ 第 118 页：让我们从最标准的五次多项式方程开始……

  “方程”多余，下面就是一个多项式。

  ■ 第 121 页：他戏谑地把他的理论称为“八重方式”。

  应该是“八重道”，来源是佛教中的“八正道”。

  ■ 第 122 页：“平行假定”……“……两个内角之和小于180度……”……

  应该是：“平行公设”……“……两个内角之和小于两个直角……”……

  这里是在引用《几何原本》。原文是 less than two right angles，没有任何问题，因为古希腊没有现代的角度概念。

  ■ 第 125 页：双曲线几何

  应该是“双曲几何”。

  ■ 第 143 页：“ ∇ ”（散度）……“ ∇ ×”（旋度）……

  原文如此。按此写法，散度应该为“ ∇ ·”

  ■ 第 144 页：横波是……“这种波”（有时称之为“墨西哥波”）的一个例子可以在运动场里见到。

  译者应该是没读懂原文 [An example is “the wave” (sometimes called “the Mexican wave”) at a sports stadium.]，这里的“这种波”是在说“人浪”。

  ■ 第 154 页：光的频率 v……

  书中凡频率 ν（希腊字母）都写成了 v（拉丁字母）。

  ■ 第 155 页：m代表其静止质量。

  原文如此。“静止”应去掉。

  ■ 第 159 页：爱因斯坦还是学生时便了解了这些实验。

  这里的实验指迈克尔逊-莫雷实验。

  原文如此。存疑，我印象里爱因斯坦在提出狭义相对论之前是不知道这个实验的。

  ■ 第 160 页：在爱因斯坦的宇宙中不存在时间的绝对测量，而且在那一宇宙中其实也没有“之前”与“之后”的绝对概念。

  原文如此。相对论还是有绝对的时间先后的。

  ■ 第 161 页：标记μ和v代表……

  v 应该为 ν。这个问题和之前的一样，只不过这里的是角标。

  ■ 第 166 页：……施特恩……格拉赫……

  一般称“斯特恩”和“盖拉赫”。

  ■ 第 166 页：量子粒子的一种数码解释。

  这是插图的解释文字。原文 digital interpretation，应该是指数字模拟图。

  ■ 第 169 页：“费因曼盘技巧”……

  全书大部分地方都作“费曼”。

  另外，这段解释没有写清楚。不过也确实很难用文字描述清楚，有兴趣可以直接搜索图示，会好理解得多。旋转 180 度是原文如此，我觉得应该是 360 度。

  ■ 第 172 页：因为两个电子无法共处，所以一个原子的最低能级上只能填入两个电子；以此类推。

  原文：Because electrons can’t overlap, there is only room for two of them at the lowest energy level of an atom, eight at the next energy level, and so on.

  作者只是一笔带过，估计译者也是没弄明白，所以前一句刚说两个电子无法共处，下一句又说只能填入两个，看上去很矛盾。

  其实前文已经说了，不可能有两个费米子处于完全相同的状态，只要有一个状态不同，两个电子就可以共处。而原子最低能级能保证两个电子状态不同，下一个能级能保证八个电子状态不同，依次下去。

  ■ 第 176 页：此处以x(M)标记……

  符号错误，应该是希腊字母 χ 。

  ■ 第 178 页：1943年，一支美国陆军部队把陈省身从日本侵略中的中国沦陷区解救了出来。

  原文如此，存疑。当时陈省身在西南联大。

  ■ 第 185 页：0.41

  42

  135

  2 不应该标粗。

  ■ 第 205 页：R与 σ ……

  应该是“r与 σ ”。

  ■ 第 220 页 & 第 228 页

  费曼注了两次，228 页写作“费因曼”。

  版本：2015 年 5 月第 1 版。

• 幸福的数学家

  作者：璃人泪@2011 发布时间：2015-05-04 14:54:04

  在我的奥数还有点成绩的时候，对学数学其实是自负又热爱的。课本没有挑战性，就想从其他地方觅点新奇有趣的。

  某年暑假路过书城，一时兴起买了本英国人写的《数学史》，回家读了过半就束之高阁。我猜想那应该是本好书，写的是正统数学史，脉络也清晰，奈何对中学时代的我而言过于晦涩，简直打击我学习数学的积极性。大学时期修了一门数学史的课程，任教老师周钢是个有趣的人，一串串人名和他们的八卦故事关联在一起，不知不觉就变得耳熟能详了。时隔这么多年翻开这本《无言的宇宙》，个中人物依然熟悉，当初数学史课程的回忆又涌上心头。文字同样亲切有趣，阅读体验实在美妙。可见，题材是否容易亲近在其次，关键是把它呈现出来的是什么样的人，可读性就是天壤了。

  这本书的定位是数学家列传，以具有代表性的数学家和他们的经典公式为线索，娓娓讲述数学史、科学发展乃至人类社会的进步和未知领域的开拓，气象恢弘。在作者笔下，数学无国界、无门槛，公式并非高不可攀面目可憎，在我们还没觉察的时候就已经与之日日相伴了。

  可爱的开篇小故事，带我们踏上这趟神奇之旅：物理学家费曼和算盘推销员比赛算术题，猜猜谁会赢？从这个故事中，我们又能得到几点启示呢？或者说换个时代，换个情景，类似的事情会以何种结局收场呢？学数学当然不是为了一次酒吧打赌，但能有这样的谈资还是不错的吧。

  24个数学公式，背后可远远不止24个人。纵观那些多少青史留名的数学家，好些都对数学有种近乎偏执的痴迷，说起个性，丝毫不输给文人们。幼时印象最深刻的数学家是陈景润，都说他多么不修边幅地钻研哥德巴赫猜想，把生活过得乱七八糟，书上还对这种求学精神大力褒奖，误以为数学家差不多都是这个模式，毫无幻想。

  好在数学史上最精彩的篇章集中在欧洲，出产的数学家颜值颇高，看脸都赏心悦目。再看他们的个性，那个研究四元数的汉密尔顿，十岁通晓所有欧洲语言、希伯来语、拉丁语、希腊语等等，终生都是一个业余诗人，大学还没毕业就被委任为爱尔兰皇家天文学家。作为数学家的汉密尔顿率先着手定义超复数，却因执着于除法的必要性放弃了继续定义牺牲部分算法的理论。开了先河自有后来人，他们没有汉密尔顿的情结，开拓了这方新领域。还有些数学家的轶事也极富戏剧性，诸如投稿被遗失毁一生、和前辈撞稿发现自己不独特毁一生、透露了研究被人家发表了毁一生之类的，都可以写成《世说新语》了。多才多艺的数学家就更多了，家喻户晓的爱因斯坦、牛顿也是多方涉猎，成就斐然。

  只有耐得住寂寞对数学执着热爱的人才能收获数学的馈赠。学生时代，数学老师总标榜“学好数理化，走遍天下都不怕”。听者却不以为意。固然，生活中随处有数学，但那种接触似乎并不需要学得多深奥就可以应付得来。真的要论改变世界的力量，作为一门基础学科，学得浅也看不出它的大能量。普通人并不需要依靠数学去解决多么困难的物理、化学、宇宙难题，但涉及养身抑或理财多少还是有兴趣的吧。美丽的公式会告诉你，到底要怎么处理手机辐射，或者怎样投机赚点快钱，这仅是数学极小的一点乐趣。

  “原天地之美而达万物之理”，想来沉迷数学之美又见万物之理的数学家应该是幸福的吧。

  ——乙未年读达纳·麦肯齐《无言的宇宙》

• 行走于数字中的优美

  作者：芝麻小元宵 发布时间：2015-05-25 21:18:07

  这是一本有关数学的科普读物，这个无言的宇宙优美、复杂、不确定，重新定义了我对数学的理解。作者开宗明义指出了数学的两重性，“首先，它是因其本身而存在的一个知识体系；其次，它是表达宇宙知识的一种语言。”也就是说，我们欣赏数学的同时也要看重它与其他事物的联系，在作者随后对数学定理史的介绍中，我时时能感受到这一特点的奇妙。

  π是我们非常熟悉的无理数，这串数字无穷无尽、永不重复，它究竟包含了多少信息？我们现在也不能给出一个令人满意的答案，但当刘徽发现这个数字并算到了四位小数时，当后来的数学家殚精竭虑地演算其后的数值时，就他们所处的时代而言显然不是为了实用性，对数学本身的好奇和热爱让他们孜孜以求，力图窥得全貌。Adam Spencer在他的TED演讲中富有激情地讲述了他对质数的热爱，以及寻找大型质数的兴奋，为什么对质数搜索有这样的激情？他的回答是人的本质就是发现了一样事物可能存在后，会去尝试，再发现它。

  虚数的发现让现代物理有了前进的框架、开普勒的三大定律对行星运动的研究有着颠覆性的意义、微积分揭示出了连续变化的概念，从此两个关系的变量图得到了广泛的应用、麦克斯韦方程引入电磁学，无线电波的发射正是得益于这个发现。数学大大丰富了我们看待这个世界的方式，但可惜的是，数学家们往往对自己的发现采取隐而不发的态度，费马会把他的发现作为问题寄给其他数学家，且将问题隐藏起来，除非收信人有研究过类似问题，否则无法知道他的真实意图。

  有时数学家遇到的难题有时远远走在实际应用的前面，所以他们更关注解决一个问题。然而数学并非总是处于理论的前沿，作者对混沌理论的介绍很有意思，数学家在混沌出现以前负责求解方程，而这些简化的假定只存在于线性系统中，也就是为了形成一个问题，数学家对混沌现象视而不见，但其他领域的科学家不会忽视这个现实，于是他们发现了一个毫无规律可言的世界，而当数学家也加入了这一行列后，我们似乎开始能抓到端倪，但如同天气预测的准确性只在于头两天，再复杂的数学模型及理论也无法预测金融市场的风险，其结果往往包含着诸多漏洞。

  于是作者在最后提出了一个让人深思的问题：未来的数学能够降服老虎吗？也许在未来这个联系性更强的世界里，我们能解决现在许多悬而未决的问题，也或许我们会有突破性的发现，从而颠覆了现在已知的内容，但无论如何，仅从这本书的角度而言，我们不仅能看到数学史的发展，更能感受到时代背景下与其他学科的互相联系和推动，抽丝剥茧出来自数学本源的优美。

• 《无言的宇宙》：世界是个恒等式

  作者：#暗蓝# 发布时间：2015-05-06 09:08:01

  仔细想想，在我们的生命里，似乎还是有那样一段时间，我们是喜欢数学的。那段时间，可能起始于你用刚学会的算术，帮妈妈算明白了白天买菜的账；或者是用新买的圆规，在多次尝试后终于画出了一个完美的圆。可是多年以后，我想对于大多数人，“数学”的乐趣，似乎早已被课堂上反复而枯燥的推演，或是试卷上那一堆堆奇怪而不知所云的符号搞得荡然无存了。

  事实上，数学在大多数人的世界里从“有趣”变得“可怕”，往往是因为我们自己的身份，由一个主动的“使用者”，变成了被动的“解决者”。当我们以自己肤浅的数学知识和技巧尝试解决生活中的问题，一旦解决，收获的成就感自然非常美妙；可在应试教育的体系中，我们“必须”用数学，来解决一些我们根本不懂得有怎样具体意义的抽象问题。这就让数学变成了一种虚无飘渺的奇怪东西——我们搞不懂它的意义，可却需要为了“数学”而“数学”——用数学来算账，欣赏几何图形的美妙对于普通人而言并不困难，但在不明就里的状态下去“实践数学”，实在是莫名其妙的事情。

  因而，作为一本面向大众的“数学书”， 《无言的宇宙》首先要解决的问题，其实是对于我们这些在这一领域并不具备突出天赋的普通人来说，“什么是数学”，以及它的实在意义。在作者达纳•麦肯齐看来，数学是一个由等式构成的世界——无数严谨而生动的逻辑结构与验算事实，造就了数学这样一个无与伦比的完美体系。尽管随着研究者的探索，“数学大厦”也面临着自身的不自洽性带来的危机，但由于它可以脱离这个世界而存在——物理、化学或是其他自然科学永远要依托“这个世界”而存在，因而只能望其项背——它显然具有更加卓越的意义。而这种卓越，使得它尽管越来越少地作为主体出现，但任何与“这个世界”有关的课题，都离不开它作为基础。这也就意味着数学研究，实际上可以作为智慧本身的一种表现形式，毕竟智慧，主宰了人类的认知程度——数学亦如此。

  以数学形式表达人类所认知的这个宇宙，更重要的作用在于可以让人直观地接触“无穷远”之外的视野。这是人类为自己的认知能力作出的努力，更是对博尔赫斯所说，人类的“本源的恐惧”——个体生命的有限性与宇宙的无限性的悬殊对比——做出的最好回应。如果找到一个公式，可以演算出这个世界所有的可能，那么人类是不是真的就把一切都“尽在掌握”了呢？这是关于征服的本能，而数学，则是容纳这本能的所在。

  因而对这样一幢伟大而崇高的“数学大厦”的介绍，达纳•麦肯齐以自己优雅的文笔和睿智的选择，带来了最具代表性的24个“数学时刻”。这里容纳了人类智慧的闪光，更展现了作为一个具有野心的智慧体，人类的潜能与希望。

  毕竟这个世界，大概也是个恒等式——左边是想象力，右边是你的尝试与努力。

  你是否也能证明它呢？

• 宇宙的尽头是数学

  作者：Chelsea.H 发布时间：2018-11-11 20:39:45

  开头写了这么个故事：费曼战胜了推销员，诺贝尔奖得主击败了机器，算盘惨败给了纯粹的思维。（——我最爱的费曼身上永远不缺好故事。）

  公式是数学与科学的命脉，是数学家用来建造自己艺术殿堂的一砖一石，或者说是他们用来表达有关宇宙想法的密码。它让我们感到不可思议。我一直都很好奇数是怎么来的，人类如何抽象出了这么一套东西，让隐形的控制着大自然的神秘法则显身。（下面这段摘抄于网络哦）比如π这个数是如何找到的。这个数字无穷无尽、无规律可言、无迹可寻，永远无法被完整地表达。在以简洁漂亮为美的数学里，这个数字显得格格不入。无理数这样奇葩的东西，存在的意义是什么，是打破人类对美的追求的幻想吗？圆形这样一种充满了对称感的，看上去如此和谐、完美的东西，为什么会和无理数这样毫无美感可言的乱糟糟的东西捆绑在一起？更莫名其妙的是，π作为一个几何概念，竟然还能和算术扯上关系。比如下面这个公式：

  

  几何与算术两大数学支流，竟然以无穷分析的形式汇集在了一起。左边是无理数的平方，右边是有理数的无穷数列，数列的形式又是如此的优美，中间竟然能划上等号。《无言的宇宙》里是这样评论π的：“看到这样的公式，阿基米德会目瞪口呆、刘徽会无语凝眸……如果上帝创造了整数，而且他也创造了π，那或许上帝其实是一台计算机。”

  还有欧拉公式。

  

  古人感慨乐曲之美——“此曲只应天上有，人间能得几回闻”；同样的，欧拉公式之美，仿佛也不应存在于这个世间。

  e

  ：自然对数的底

  i

  ：虚数单位，-1的平方根

  π

  ：无理数

  1

  ：乘法单元

  0

  ：加法单元

  这五个至关重要的数学元素，通过加、乘、指数三种基本运算组合在了一起。形式上，极致的简洁；意义上，细思极恐。π和i的相乘？这该是个怎样诡异的数字？然后这个数字再作为e的指数？结果竟然会是-1？

  欧拉公式，被誉为上帝公式，又被成为“有史以来最优美的等式”。《无言的宇宙》里说：“这个公式是数学上最为矛盾的命题之一。”在数学爱好者眼里，这个公式道尽了一切数学之美。

  数学的不可思议，还体现在几何和算术、时间和空间的交错上。

  再比如，回到i这个虚数单位。把-1拿来开平方，本来就好像“除以零”一样，只想回答“怎么可能”。可这个被科学家拿来作为算术的工具的数字，竟然还有几何的意义——具体去看伽莫夫的《从1到无穷大》就好了，-1的平方根可是开启了四维时空运算，跟狭义相对论直接挂钩。

  数学所展示的这些匪夷所思的联系，宛如神迹，每一项都有让人五体投地顶礼膜拜的威压。我也想象不出来，这一切的背后，到底有着怎样的意义。或许真的只有数学，可以担得起“描述一切可能存在的宇宙”这等不可能的任务。

  网上一个对这24个公式的总结：

  一、1+1=2

  小编是在开玩笑么？这还用你教？1+1=2我可是在幼儿园就会了啊……是的。

  这个等式或许是世界是最简单的公式了

  ，可是你有没有想过，是谁第一个写下了这一公式？数字是什么时候被抽象成了这些符号？1+1=2到底是人类的发明还是发现？要回答这一连串的问题恐怕并不简单。套用一个“in”一点的概念，尽管千年来数学家们“盲目”地使用着以1+1=2为基础的数学体系，但这个体系从来都没有出现bug，这种无懈可击难道不是一件不可思议的事情？更进一步说，与语言、宗教、信仰相比，算术的客观性与普适性强大到几乎可以和真理相媲美，想到这些，你认为你真的了解了1+1=2吗？

  二、1-1=0

  如果说1+1=2只是算术，那0的出现则标志着人的思维已经涉足到更加抽象的领域。

  零代表着“无”，这种“无”本身也是一种存在，想想似乎可以推导出很深的哲理

  ——当然我们也可以具体到现实生活中，比如2009与29之间有什么关系？为什么2009看起来像年份而29似乎是一个人的年龄？如果我们得知在古巴比伦人眼中1501（25*60+1）与90001（25*602+1）的表达形式都是251，或许会对0有着更多的理解。

  三、a2+b2=c2

  在中国这条定理叫“

  勾股定理

  ”，在西方它被称为“

  毕达哥拉斯定理

  ”——然而这个定理却并不是毕达哥拉斯发现的。对这一话题的研究可以挖掘出三希腊人对数学的热情以及当时毕达哥拉斯学派的传奇轶事，这些历史素材如今已经成为文学作品中带有浪漫色彩的典故。还记得《绿野仙踪》中那个稻草人拿到“毕业证书”时说了什么吗——“一个等腰三角形任何两边的平方根等于第三边的平方根”。啊哈，你可以猜猜是这真是假。

  四、π

  美剧

  《疑犯追踪》

  第二季第11集有一段关于π的浪漫解读：“π，无穷无尽，永不重复。就是说在这串数字中包含每种可能的组合——你的生日，储物柜密码，你的社保号码，都在其中某处。如果把这些数字换作字母，你就能得到所有的单词……宇宙中所有无限的可能，都在这个简单的圆中。”很遗憾地说，π在排列组合上并不具有如此浪漫的魔力，然而这并不影响π的伟大。在π身后牵扯到刘徽，牵扯到阿基米德，牵扯到一个略有些悲剧色彩的数学家尚克斯；同时更让人惊叹的还有这样的等式：π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9…或是π2/6=1+1/22+1/32+1/42…，你不得不说它简单美得如同最精致的诗歌。

  五、芝诺悖论

  芝诺有一个著名的悖论：一个人从A点走到B点，要先走完路程的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走完剩下的1/2……如此循环下去，永远不能到终点。这明显违背我们的常识，然而你真的有把握推翻它吗？在那个时代，芝诺的理论没有人能推翻，那现在的你呢？

  六、杠杆原理

  “给我一个支点，我将撬动整个地球。”这句话是阿基米德在希伦王面前抖的包袱，然而你可能不知道因为这个原理太不正式、经验性太强，因为在阿基米德眼中不那么“数学”。杠杆原理背后还有很多关于阿基米德的故事，而阿基米德背后还有很多人类早期文明的故事，这些故事至今还能让我们有某一时刻回过头来仔细观察我们当下的世界是不是真的那么“不言而喻”。

  七、卡尔达诺公式

  本书到此开始有点专业化了，然而没有理工科背景的读者也不用着急哦，公式本身并不重要，公式背后的人类文明印记才重要。简而言之，卡尔达诺公式是一个可解任意复系数的三次方程，之所以叫这个名字并不是因为卡尔达诺发现了它——真正的发明者为了保持自己在数学竞赛的优势地位而拒绝公开发表，那个时候欧洲的数学竞赛如同中国武侠小说中江湖人士的比武一般精彩，卡尔达诺公式的命名便是这种奇特历史的产物。

  八、开普勒行星运行定律

  人类将星空从神话领域解脱出来是一件大事，也是一件流了很多血的事。因为反对地心说，伽利略在软禁中度过了余生，由此你似乎可以嗅到开普勒行星运行定律背后可能隐藏的血腥味。或许，你能领悟到上帝更精细的慈悲？

  九、费马最后定理

  可以说，

  费马最后定理不是定理——它就是一首诗

  。在《丢番图的算术》一书的页眉处，以“卖弄数学发明”而闻名的费马写下了这样一段话：“任何立方数都不能写成为两个立方数之和的形式……对此我已经找到一个真正绝妙的证明，但书的空白处实在太小，无法把它写下来。”多年以后，数论学家安德烈在面对《丢番图的算术》的时候叹道：“他怎能料到，笔落处，抒写的便是永恒？”当然，他也认为这一问题的解答需要有19世纪的复数与代数数域的方法，因而费马不可能完全证明出来，不过——这种跨越时代的数学挑战是否能燃起你内心的未知欲呢？

  十、微积分

  如果说哥伦布发现新大陆是一件划时代的大事，那微积分的发现则是数学星球中的“发现新大陆”事件。从此芝诺悖论得到了解答，然而更有趣的是，欧洲有两个数学巨人在同一时期分别独立地发现了微积分，由此开展了英国与欧陆的“正统”之争。这两个人分别是

  牛顿与莱布尼茨，你支撑的是哪一个？

  十一、牛顿定律

  好吧，作者告诉你关于微积分的战役，牛顿输给了莱布尼茨。不过作者又用了另一章节彰显这位巨人的功绩。你可能说过这个故事：牛顿被苹果砸到了头于是发现了万有引力，这个段子事后被认为是假的，不过你可以会对牛顿与哈雷彗星的关系更感兴趣。万有引力与天文学的结合一道瓦解了中世纪的宇宙观，虽然你可能也听说了牛顿的目的是以科学为神学服务……谁叫“

  物理的尽头的尽头的尽头是神学

  ”呢？

  十二、欧拉定理

  有些公理你不一定看得懂，但你可以看出它的美，比如

  e^iπ+1=0

  。面对这样一个逆天的等式，你会不会怀疑数学真的是上帝精心设计的产物？很好，当欧拉公式被发现时，人类已经进入了文艺复兴时期。

  十三、四元数

  无论如何，随着人类文明的发展，数学终于要迈向更虚幻的领域了。如果你恰好在都柏林游玩，一定要去乘巴士前往布鲁姆桥路，在皇家运河下车。1843年，汉密尔顿爵士灵光一闪，发现了

  四元数乘法的基本定理

  并把它刻在了桥上——

  这是数学史上的一个转折点

  ，同时也标志着某一个数学方式完全出自于一个人的想像成为可能。

  i^2=j^2=k^2=-1

  ，其实连汉密尔顿爵士本人都没有完全理解这个等式，但它却成了数学史上的一大步。

  十四、群论

  当群论出现的时候，人类已经进入19世纪。这个世纪初出现了两个英年早逝的数学天才，一个叫

  阿贝尔

  ，一个叫

  伽罗瓦

  ，而他们的故事又告诉人们即使是在现代社会，有些悲剧也并示真正离我们远去。阿贝尔曾经把自己最重要的论文寄给了巴黎科学院，却被巴黎科学院的负责人随手丢进了抽屉里，直到被发现时阿贝尔已经沉疴缠身。而伽罗瓦则是因为参加一次流行示威而被杀死的。群论在日后物理学和化学中有大量的应用，然而你是否能想到这一概念背后隐藏着如此的故事？

  十五、非欧几何

  数学还有挑战着人类的认识极限。你相信两点之间直线最短吗？或许你应该了解一下什么是“

  蚂蚁几何

  ”与“

  鲸鱼几何

  ”。如果你能接受地球是圆的这个概念，或许可以更轻松地面对平面世界的定律被改写的事实。非欧几何将数学的空间延伸了，而这个理念也一定会延伸掌握它的人的生活。

  十六、质数定理

  还记得小小年纪就秒算出从1 加到100的和的那个“数学王子”吗？他叫高斯，质数定理就是他提出的。质数定理意在寻找质数出现的规律，直到今天这个问题还没有被后人完全解决——如果高斯如费马一样在书中写下一条神秘的评论，那世界将多出一个“高斯最后定理”，而这个评论应当是：“小于a的质数a≈a/in a”。看不懂，是吗？或许你可以画一幅图自己试卷找一找质数的分数规律——把质数连成线，那画面对让你难忘的。

  十七、傅立叶级数

  这个傅立叶研究的可不是空想社会主义。这个傅立叶曾是拿破仑身边的红人——以一个科学家的身份担任了一个省的行政长官。当然，他最重要的贡献是

  有关执流动的模型

  ，而这个模型告诉了人们，数学是一个二步过程。人们首先要做出问题的模型，然后求解这个模型的方程。这一过程，几乎成了日后科学与科幻的基础。

  十八、麦克斯韦方程

  SHE的《Superstar》中有一句歌词：你是电，你是光，你是唯一的神话……嘿，你有没有想过

  电与光究竟是个什么鬼？

  牛顿认为光是微粒，胡克认为光是波。你或许不了解波粒二象性的具体含义，但从经典力学到麦克斯韦方程的蜕变，基本就是从科学向“科幻”的蜕变。物理学的发展让人类变得无比强大，而光与电的关系也值得你弄清楚。

  十九、量子与相对论

  如果前面的一切数学家与物理学家你都不了解，那么作者接下来要说的人会让你觉得如雷贯耳——他就是爱因斯坦。爱因斯坦最出名的公式是什么？是

  E=mc2

  。没有受过专业教育的人很难说出它的含义，可是你一定能看出来，它的美妙程度不亚于欧拉公式。爱因斯坦对简单的事物有着痴迷般的追求，而他的追求也的确为人类带来了一个新世界。你会对爱因斯坦只有三页纸的论文《物体的惯性取决于它含有的能量吧》感兴趣的吧？相信作者，去看看吧。

  二十、狄拉克公式

  这个公式的概念已经超越绝大多数普通人的认知范围了：

  电子除了有能量取正值的状态外，还有能量取负值的状态，并且所有正能状态和负能状态的分布对能量为零的点是完全对称的。

  是不是感觉稀里糊涂？其实狄拉克公式更现实的意义在于预言了“正电子”的存在，从而开创了反原子、反物质、反世界的研究。为什么宇宙中的物质多于反物质？为什么宇宙不是空荡荡的？这些问题构成了当今科学的前沿。

  二十一、陈省身-高斯-博内公式

  20世纪数学出现了三个趋势，一是物理学与数学更为密切与深刻的联系，二是非欧几何学的崛起，三是数学的全球化趋势愈加明显。深刻影响到数学发展的

  陈省身-高斯-博内公式

  便是这三股趋势的集中体现。那么，陈省身-高斯-博内公式的重要性体现在何处呢？作者说：“只要我们想理解我们生活于其中的这种宇宙，我们就只能在这个宇宙之内，用陈省身首创的这种语言工作，而不存在走出这个宇宙的可能”。如果你看过大刘的科幻小说，会不会相声大刘的另一句名言：“粒子虽小，却组成了我们；宇宙虽大，我们身在其中。”

  二十二、连续统假说

  数学家的认识在表征上已经愈加接近神学。早在1874年他们就开始认识到，无限实际上有不同的大小，一个集合可以在事实上有一点无限，或者非常无限。这些认识导致了20世纪最深刻、最矛盾的发现：集合——而非数字，老师建筑数学大厦的基本材料。如果你不太明白作者想说的是什么，也许可以看看他讲的关于

  希尔伯特无穷旅馆

  的故事——绝对可以重塑你的三观。

  二十三、混沌理论

  可以人类的计算机已经非常发达。但是，它能够准确预测60天以后的天气么？曾经相信过了天气预报的观众可能会呵呵了——那么问题出在哪里？是我们的科学家水平太差了么？如果你对这个问题感兴趣，那么一定想要知道作者给出的答案：混沌。数学不是万能的，也许混沌告诉了我们这一点，不过数学家却开始试图将混沌纳入数学本身，如果你还对

  《侏罗纪公园》

  中那个混沌理论学家留有深刻的印象，那这一章节的内容不容错过。

  二十四、布莱克-斯科尔斯方程

  你是股民吗？你在2015年的股灾中被套牢了吗？你认为股市真的只是一场没有规律可言的豪赌吗？1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖被授予给罗伯特·默顿和迈伦·斯克尔斯，他们创立和发展的布莱克-斯克尔斯方程为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。你只觉得他们是经济学家，是吗？通过本书你可以知道，

  他们是数学家——或许，还是哲学家。

• 这是一本让人读了想跪下的书

  作者：乐之读 发布时间：2017-11-20 19:29:01

  数学常常让我感到不可思议。

  从小学的时候学习π开始。一个圆规以1为半径画一个半圆，周长就是π，一个拖着无限不循环的尾巴的奇怪的数字。

  这个数字无穷无尽、无规律可言、无迹可寻，永远无法被完整地表达。在以简洁漂亮为美的数学里，这个数字显得如此格格不入让，让我感到困惑、烦闷，甚至是不安。

  无理数这样奇葩的东西，存在的意义是什么，是打破人类对美的追求的幻想吗？

  圆形这么一个随处可见的、普普通通的东西，为什么连周长都无法被精确地描述；

  圆形这样一种充满了对称感的，看上去如此和谐、完美的东西，为什么会和无理数这样毫无美感可言的乱糟糟的东西捆绑在一起？

  π，是上帝造出来嘲讽人类的无知的吗？

  更莫名其妙的是，π作为一个几何的概念，竟然还能和算术扯上关系。比如书里的那个公式（图片显示不出来）……

  我定定地看着这个公式，足足有两分钟回不过神来。

  这个公式真的是太让人吃惊了。一个是代表几何的数字，一个是算术里的奇数序列和平方序列。几何和算术的这两大数学支流，竟然以无穷分析的形式汇集在了一起。左边是无理数的平方，右边是有理数的无穷数列，数列的形式又是如此的优美，中间竟然能划上等号……

  《无言的宇宙》里是这样评论π的：

  “看到这样的公式，阿基米德会目瞪口呆、刘徽会无语凝眸……如果上帝创造了整数，而且他也创造了π，那或许上帝其实是一台计算机。”

  更有甚者。最让我无语的公式，是数学爱好者们耳熟能详的——欧拉公式。

  古人感慨乐曲之美——“此曲只应天上有，人间能得几回闻”；同样的，欧拉公式之美，仿佛也不应存在于这个世间。

  e：自然对数的底

  i：虚数单位，-1的平方根

  π：无理数

  1：乘法单元

  0：加法单元

  这五个至关重要的数学元素，通过加、乘、指数三种基本运算组合在了一起。形式上，极致的简洁；意义上，却细思极恐——

  π和i的相乘？这该是个怎样诡异的数字？然后这个数字再作为e的指数？结果竟然会是-1？……

  欧拉公式，被誉为上帝公式，又被成为“有史以来最优美的等式”。《无言的宇宙》里说：“这个公式是数学上最为矛盾的命题之一。”在数学爱好者眼里，这个公式道尽了一切数学之美。

  数学的不可思议，还体现在几何和算术、时间和空间的交错上。

  比如，回到i这个虚数单位。把-1拿来开平方，本来就好像“除以零”一样，只想回答“怎么可能”。可这个被科学家拿来作为算术的工具的数字，竟然还有几何的意义……

  代数运算“乘以i”，相当于几何运算：“逆时针方向转动90度”——这可是-1的平方根啊，怎么就相当于逆时针转90度了呢？

  再比如创造了四元数的汉密尔顿，在他的理论里，时间和空间合并成了单一“时空”（至于怎么合并的，我也没看懂）。

  在汉密尔顿的四元数中（表达式为a+bi+cj+dk），其中表示空间三维的i、j、k，都是虚数，而时间（a）却是实数。这真是个绝妙的讽刺——

  空间是虚数，时间是实数，真实的世界与虚拟的世界，位置竟然刚好颠倒了过来。

  数学所展示的这些匪夷所思的联系，宛如神迹，每一项都有让人五体投地顶礼膜拜的威压。我不敢想象，也想象不出来，这一切的背后，到底有着怎样的意义。

  数学是特殊的。实证科学类，包括物理、化学、生物等，是为了描述这个世界、表达宇宙知识的一种语言。它们存在的目的，是为了解读这个世界。数学的特殊性在于，除了和实证科学一样的功用外，它自己还是一个独立存在的知识体系。换言之，数学存在的目的，也可以是数学本身。

  数学又是严谨的。数学所描述的事实，不能通过经验、道理、统计或测试的方式来证明，只能通过数学本身的方式来证明。这是区分数学和其它学科，包括实证科学的一大原则。

  因此，《无言的宇宙》中提到，物理学是我们这个宇宙范围内的，因为物理理论最终都需要被实验所检验。但数学是超越我们这个宇宙的，它的规则的普适性，或许可以描述一切可能存在的宇宙。

  从我所看到的数学所展示的神迹而言，或许真的只有数学，可以担得起“描述一切可能存在的宇宙”这等不可能的任务。

  但是，掌握了数学工具的人类，还远远达不到全知全能的神的状态。

  20世纪的人类，最最重要的成就，在我看来，不是发现了相对论、量子力学，不是掌握了核能，也不是证明了费尔马大定理，而是——明确地认识到人类认知的局限性。

  一个局限，来自于量子力学。海森堡的测不准原理，从微观的角度划定了人类理解的边界。

  另一个局限，来自于数学。哥德尔的不完备定理，证明了：

  1）任何令人信服并足以包括数学一般规则的公理体系都必须包括同为正确与不可证明的叙述。

  2）公理体系本身的一致性是无法证明的。

  换言之，人类永远无法证明一个公理体系。那只是一个出发点而已。可能在某一天，某个物种可以就1+1=3提出一项完全有理有据的证明，并以此为基础建立一套全新的公理体系。

  从这个角度而言，量子力学所属的科学，哥德尔定理背后的数学，以及加缪的荒诞理论代表的哲学，都指向同一个方向：

  人类永远无法完全地、精确地理解这个世界。

  在通往绝对真理的道路上，哲学走不通，科学、数学同样走不通。

  《三体》里让我触动最深的一句话是：“弱小和无知不是生存的障碍，傲慢才是。”

  这也正是我推荐《无言的宇宙》的原因：让我们多一分对未知的敬畏，少一分源自无知的傲慢。